Вопрошающий имел в виду что-то вроде такого:

int main() {
auto  a = make_shared<Test>("first");
a = make_shared<Test>("second");
return 0;
}

Такой код работает так как ему хочется. В начальном же коде вызывается сгенерированный компилятором оператор присваивания, который вызывает оператор присваивания для соответствующих членов класса и, таким образом, осуществляет копирование значения.