>> Есенин-Вольпин писал, что нету натурального числа (достаточно большого), если
>> мы не можем до него досчитать.
> Что значит "досчитать"? В уме досчитать? Или разрешается использовать вычислительную технику?

Ну, в оригинальной версии было 10^12 и требовалось досчитать (аксиоматика Пеано).

> Я не вижу смысла заявлять о том, о чём заявил Есенин-Вольпин. Мне
> кажется, ты выдрал фразу из контекста, и поэтому смысл был утерян.

Есть мнение, что subj просто был распиаренным диссидентом.  Но в чем-то тут есть смысл,
учитывая что для анализа "окрестностей" больших чисел (ну, что-то типа теста на простоту,
сколько и как распределены простые числа рядом и т.п) - требуются совершенно иные
методы, нежели для обычных, которые можно посчитать.  Нельзя сразу "скакнуть"
куда-то далеко.

Другой аргумент ультрафинитистов - вторая теорема Геделя (о неполноте).  С их точки
зрения (например, Цейльбергер), она делает аксиоматику натурального ряда бессмысленной.

>>> Интеграл Лебега тут самая лучшая демонстрация, потому как интегралом Лебега очень удобно
>>> жонглировать математику, но если вдруг надо посчитать этот интеграл, или, не
>>> дай бог, "взять" его, то... упс... Интеграл Римана хоть иногда можно
>>> взять... Может мы прикинемся, что это интеграл Римана? Может никто не заметит?
>> Ну а можно зайти с тыла.  Интеграл - это антипроизводная.
> Интеграл Римана -- нет.

Ну, по модулю основной теоремы анализа - отличия нет.  Хотя тут есть нюанс в том,
что в языке алгебры утрачиваются детальки вроде задания многозначных функций
(см. например The Difficulties of Definite Integration, Davenport).

> Связь между неопределённым интегралом
> и определённым -- это серия формул-теорем, типа формулы Ньютона-Лейбница

Это в точности теорема Ньютона-Лейбница (т.н. осн. анализа).

> Я заглянул в википедию. Мне как-то совсем стало неинтересно. То есть да,
> я понимаю ценность иметь разные способы получить то же самое --
> самая глубокая постмодернисткая ценность, но я матан использую эпизодически и сугубо
> инструментально. Меня вполне устраивает то, что я знаю.

Ну в этом смысле - да.  Умные дяди за тебя уже сделали калькуляторы - зачем складывать
числа?  Сделали системы компьютерной алгебры - зачем понимать как они работают и
считать интегралы руками?

> Я привёл выше пример, в котором я, выполняя все те шаги, которые
> выполнял Риман, чтобы получить свой интеграл, получил бред вместо результата.

Извини, я не увидел у тебя определения интеграла по-Риману.  Ты придумал свое разбиение.

Твое разбиение - твои проблемы.  При разбиении по определению Римана - нет проблем
со сбором суммы в любом порядке и т.п. (т.е. предел существует).  Разумеется, для
функций определенного класса (ну, там для неприрывных на конечном интервале и типа того).

Классический матанализ, конечно, может доказать что определение Римана - корректно.  Но сам
выбор конкретного определения - это уже совершенно другая история.