> но как эту ситуацию обработать я не знаю.

наверно так

m/\Q$p/

> Не вижу в этом смысла.

ну да, простое сравнение строк не идет ни в какой сравнение с интерполированным регекспом :)
особенно когда на самом деле там нет регекспа как такового, а производится поиск по строке