Попробуй прописать полные пути к используемым программам.

>Вот такой скрипт нормально работает при запуске его вручную с консоли (бейкапит
>нужную базу в файл и сжимает) и не работает при запуске
>cron'ом (получаются пустые файлы). Подскажите, пожалуйста, в чем может быть дело?
>
>
>+-----------------------------------------------------------+
>#! /bin/sh
>
добавь в этом месте:
PATH="/bin:/sbin:/usr/bin:/usr/sbin:${PATH}"; export PATH;

>cd /usr/home/username/back/mysql
>USE='user_name'
>PWD='pass_name'
>
>mysqldump --opt \
>    --default-character-set=cp1251 \
>    --host=localhost \
>    --user=$USE \
>    --password=$PWD \
>    base_name \
>    | gzip > ./base_name_`date "+%Y-%m-%d"`.sql.gz
>+-----------------------------------------------------------+