Сам сервис запускается от пользователя squid. Но в данном случае речь про обвязочный код; если вы не заметили, то раньше pid-файлы в /var/run можно было создавать и удалять только с правами рута, т.к. владелец /var/run - рут. Либо иметь там каталог от нужного пользователя, созданный при инсталляции пакета, но это требует специальной поддержки после переезда /var/run в tmpfs.

И - знаю, меня жестко заминусуют за этот комментарий - но не могу отметить, что systemd решает *и эту* проблему. Концепция systemd-tmpfiles обеспечивает чтение конфига в /etc/tmpfiles.d/сервис и создание временных каталогов с нужными правами до запуска сервиса. Т.е. в таком случае при запуске сервиса автоматически был бы создан /var/run/squid с правами squid и тогда уже весь дальнейший код инициализации можно было бы выполнять с правами squid.